7_决策树回归（Decision Tree Regression）

案例介绍

在这个案例中，我们将使用决策树回归来预测波士顿地区的房屋价格。通过给定一些特征变量（如平均房间数、犯罪率等），我们的目标是预测对应房屋的房价。

算法原理

决策树回归是一种基于树结构的回归模型，它通过将特征空间划分为不同的区域，每个区域内具有相同的目标变量值，并通过构建决策树来实现预测。

决策树回归的关键思想是根据特征的取值进行划分，选择最优的划分特征和划分点，使得划分后的子集内目标变量的方差最小化。具体的算法原理如下：

1. 计算当前节点的目标变量的方差，即平方误差和；
2. 对每个特征的每个可能取值进行划分，计算划分后的子集的平方误差和；
3. 选择划分特征和划分点，使得划分后的平方误差和最小；
4. 递归地继续划分子集，直到满足停止条件，例如达到最大深度、节点包含的样本数小于某个阈值等。

公式推导

假设我们有一个数据集$D$，其中包含$n$个样本，每个样本包括$d$个特征变量和一个目标变量。我们的目标是通过构建决策树来建立回归模型。

对于回归问题，我们的目标是最小化平方误差和：
$$\text{MSE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i – \hat{y_i})^2$$
其中，$y_i$是样本$i$的真实目标变量值，$\hat{y_i}$是决策树预测的目标变量值。

决策树回归的算法过程可以通过递归地构建二叉树来实现，其中每个节点代表一个特征变量，每个叶节点代表一个预测值。

为了找到最佳划分特征和划分点，我们可以使用贪婪算法，依次评估每个特征的每个划分点，并选择最小的平方误差和。

数据集

我们使用sklearn库中的波士顿房屋价格数据集。这个数据集包含了506个样本，每个样本有13个特征变量和一个连续的目标变量（房屋价格中位数）。

计算步骤

1. 加载数据集，并将其划分为训练集和测试集；
2. 创建决策树回归模型，并设置相关参数；
3. 使用训练集训练模型；
4. 使用测试集评估模型性能，并计算预测结果的平均绝对误差和均方根误差；
5. 可视化决策树模型。

Python代码示例

# 导入所需的库和模块
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error
from sklearn.tree import export_graphviz
import pydot

# 加载波士顿房屋价格数据集
boston = load_boston()

# 划分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建决策树回归模型
regressor = DecisionTreeRegressor(max_depth=4)

# 训练模型
regressor.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = regressor.predict(X_test)

# 计算平均绝对误差和均方根误差
mae = mean_absolute_error(y_test, y_pred)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print("Mean Absolute Error:", mae)
print("Mean Squared Error:", mse)

# 可视化决策树模型
dot_data = export_graphviz(regressor, out_file=None, feature_names=boston.feature_names, filled=True)
graph = pydot.graph_from_dot_data(dot_data)[0]
graph.write_png('decision_tree.png')

代码细节解释

1. 从sklearn.datasets导入load_boston，用于加载波士顿房屋价格数据集。
2. 从sklearn.model_selection导入train_test_split，用于划分数据集为训练集和测试集。
3. 从sklearn.tree导入DecisionTreeRegressor，用于创建决策树回归模型。
4. 从sklearn.metrics导入mean_absolute_error和mean_squared_error，用于计算模型性能指标。
5. 从sklearn.tree导入export_graphviz，用于可视化决策树模型。
6. 加载波士顿房屋价格数据集，并将数据集划分为训练集和测试集。
7. 创建决策树回归模型，并设置相关参数，如最大深度。
8. 使用训练集训练模型。
9. 使用测试集进行预测。
10. 计算预测结果的平均绝对误差和均方根误差。
11. 可视化决策树模型，并保存为PNG格式的图片文件。

通过以上代码，我们可以训练一个决策树回归模型，并使用该模型预测波士顿房屋价格。最后，我们可视化生成的决策树模型，以便更好地理解模型的决策过程。

cos大壮

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