案例介绍
在这个案例中，我们将使用波士顿的房屋数据集，演示特征选择的过程。特征选择是机器学习中的一个重要步骤，它的目标是从原始特征集中选取最相关的特征，以提高模型的预测性能和解释性。在这个案例中，我们将使用Pearson相关系数来进行特征选择。
算法原理
Pearson相关系数是一种用于衡量两个变量之间线性相关程度的统计指标，其取值范围为[-1, 1]。当相关系数趋近于1时，表示两个变量正相关性越强；当相关系数趋近于-1时，表示两个变量负相关性越强；当相关系数接近0时，表示两个变量之间无线性相关性。
在特征选择过程中，我们可以利用Pearson相关系数来衡量每个特征与目标变量之间的相关性。在选择特征时，我们希望选择与目标变量高度相关的特征，因为这些特征对于模型的训练和预测是最有价值的。
公式推导
Pearson相关系数可以通过以下公式计算：
$$\text{Pearson}(X, Y) = \frac{{\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})(Y_i – \overline{Y})}}{{\sqrt{{\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2}} \sqrt{{\sum_{i=1}^n (Y_i – \overline{Y})^2}}}}$$
其中，$X$ 和 $Y$ 分别表示两个变量的取值，$X_i$ 和 $Y_i$ 表示对应的样本数据，$\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 表示对应变量的均值。
数据集
我们将使用波士顿的房屋数据集作为示例数据集。该数据集包含了一些关于波士顿地区房屋的特征信息，如犯罪率、房间数量、房屋年龄等，以及对应的房屋价格。
计算步骤
- 加载数据集：使用
sklearn.datasets中的load_boston函数加载波士顿房屋数据集。 - 准备数据：将数据拆分为特征集（X）和目标变量（y）。
- 计算特征相关性：使用Pearson相关系数计算每个特征与目标变量的相关性。
- 进行特征选择：选择与目标变量相关性较高的特征。
- 可视化结果：绘制特征相关性热图。
Python代码示例
首先，我们将加载波士顿房屋数据集，并准备数据：
from sklearn.datasets import load_boston
# 加载数据集
boston = load_boston()
# 获取特征和目标变量
X = boston.data
y = boston.target接下来，我们将使用Pearson相关系数计算每个特征与目标变量之间的相关性：
import numpy as np
# 计算特征相关性矩阵
correlation_matrix = np.corrcoef(X.T, y)
# 获取特征与目标变量的相关系数
correlation_with_target = correlation_matrix[:-1, -1]然后，我们可以根据相关系数的绝对值大小进行排序，选择与目标变量相关性较高的特征：
# 获取相关系数的绝对值排序
feature_indices = np.argsort(np.abs(correlation_with_target))[::-1]
# 选择与目标变量相关性最高的前K个特征
K = 5
selected_features = feature_indices[:K]最后，我们可以绘制特征相关性热图，以便更直观地观察特征之间的相关性：
import matplotlib.pyplot as plt
# 绘制特征相关性热图
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.imshow(correlation_matrix, cmap='coolwarm', interpolation='nearest')
plt.colorbar()
plt.title('Correlation Heatmap')
plt.xticks(np.arange(len(boston.feature_names)), boston.feature_names, rotation=45)
plt.yticks(np.arange(len(boston.feature_names)), boston.feature_names)
plt.tight_layout()
plt.show()以上代码将绘制出一个特征相关性热图，其中横轴和纵轴分别表示特征的名称，颜色越深表示相关性越强。通过观察热图，我们可以更直观地了解特征之间的相关性。
代码细节
在代码示例中，我们先使用load_boston函数加载了波士顿房屋数据集，并将数据拆分为特征集（X）和目标变量（y）。
然后，我们使用np.corrcoef函数计算了特征相关性矩阵。该函数接受一个矩阵作为输入，其中每一列代表一个特征，每一行代表一个样本。该函数返回一个相关性矩阵，其中每个元素表示对应特征之间的相关系数。
接下来，我们通过选取相关系数的绝对值进行排序，选择与目标变量相关性较高的特征。在示例中，我们选择了与目标变量相关性最高的前5个特征。
最后，我们使用plt.imshow函数绘制了特征相关性热图。通过调整参数，我们可以设置不同的颜色映射和差值方法。最后，通过plt.xticks和plt.yticks函数设置了刻度标签，并使用plt.tight_layout函数调整布局以确保图像不被裁剪。最终，通过调用plt.show函数，我们展示了特征相关性热图。